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Représentation d'un nombre dans un ordinateur

On appelle représentation (ou codification) d'un nombre la façon selon laquelle il est décrit sous forme binaire. La représentation des nombres sur un ordinateur est indispensable pour que celui-ci puisse les stocker, les manipuler. Toutefois le problème est qu'un nombre mathématique peut être infini (aussi grand que l'on veut), mais la représentation d'un nombre dans un ordinateur doit être faite sur un nombre de bits prédéfini. Il s'agit donc de prédéfinir un nombre de bits et la manière de les utiliser pour que ceux-ci servent le plus efficacement possible à représenter l'entité. Ainsi il serait idiot de coder un caractère sur 16 bits (65536 possibilités) alors qu'on en utilise généralement moins de 256...

Représentation d'un entier naturel

Un entier naturel est un entier positif ou nul. Le choix à faire (c'est-à-dire le nombre de bits à utiliser) dépend de la fourchette des nombres que l'on désire utiliser. Pour coder des nombres entiers naturels compris entre 0 et 255, il nous suffira de 8 bits (un octet) car 2⁸=256. D'une manière générale un codage sur n bits pourra permettre de représenter des nombres entiers naturels compris entre 0 et 2ⁿ-1.

Pour représenter un nombre entier naturel après avoir défini le nombre de bits sur lequel on le code, il suffit de ranger chaque bit dans la cellule binaire correspondant à son poids binaire de la droite vers la gauche, puis on « remplit » les bits non utilisés par des zéros.

Représentation d'un entier relatif

Un entier relatif est un entier pouvant être négatif. Il faut donc coder le nombre de telle façon que l'on puisse savoir s'il s'agit d'un nombre positif ou d'un nombre négatif, et il faut de plus que les règles d'addition soient conservées. L'astuce consiste à utiliser un codage que l'on appelle complément à deux.

• un entier relatif positif ou nul sera représenté en binaire (base 2) comme un entier naturel, à la seule différence que le bit de poids fort (le bit situé à l'extrême gauche) représente le signe. Il faut donc s'assurer pour un entier positif ou nul qu'il est à zéro (0 correspond à un signe positif, 1 à un signe négatif). Ainsi si on code un entier naturel sur 4 bits, le nombre le plus grand sera 0111 (c'est-à-dire 7 en base décimale).
  D'une manière générale le plus grand entier relatif positif codé sur n bits sera 2^n-1-1.
• un entier relatif négatif grâce au codage en complément à deux.
  Principe du complément à deux :
  Soit à représenter un nombre négatif.
  • Prenons son opposé (son équivalent en positif)
  • On le représente en base 2 sur n-1 bits
  • On complémente chaque bit (on inverse, c'est-à-dire que l'on remplace les zéros par des 1 et vice-versa)
  • On ajoute 1
  On remarquera qu'en ajoutant le nombre et son complément à deux on obtient 0...

• d'écrire 5 en binaire : 00000101
• de complémenter à 1 : 11111010
• d'ajouter 1 : 11111011
• la représentation binaire de -5 sur 8 bits est 11111011

Représentation d'un nombre réel

Il s'agit d'aller représenter un nombre binaire à virgule (par exemple 101,01 qui ne se lit pas cent un virgule zéro un puisque c'est un nombre binaire mais 5,25 en décimale) sous la forme 1,XXXXX... * 2ⁿ (c'est-à-dire dans notre exemple 1,0101*2²). La norme IEEE définit la façon de coder un nombre réel.
Cette norme se propose de coder le nombre sur 32 bits et définit trois composantes :

• le signe est représenté par un seul bit, le bit de poids fort (celui le plus à gauche)
• l'exposant est codé sur les 8 bits consécutifs au signe
• la mantisse (les bits situés après la virgule) sur les 23 bits restants

• le s représente le bit relatif au signe
• les e représentent les bits relatifs à l'exposant
• les m représentent les bits relatifs à la mantisse

Certaines conditions sont toutefois à respecter pour les exposants :

• l'exposant 00000000 est interdit
• l'exposant 11111111 est interdit. On s'en sert toutefois pour signaler des erreurs, on appelle alors cette configuration du nombre NaN, ce qui signifie Not a number
• Il faut rajouter 127 (01111111) à l'exposant pour une conversion de décimal vers un nombre réel binaire. Les exposants peuvent ainsi aller de -254 à 255

La formule d'expression des nombres réels est ainsi la suivante:

(-1)^S * 2^( E - 127 ) * ( 1 + F )

où:

• S est le bit de signe et l'on comprend alors pourquoi 0 est positif ( -1^0=1 ).
• E est l'exposant auxquel on doit bien ajouter 127 pour obtenier son équivalent codé.
• F est la partie fractionnaire, la seule que l'on exprime et qui est ajoutée à 1 pour effectuer le calcul.

Voyons ce codage sur un exemple :
Soit à coder la valeur 525,5.

• 525,5 est positif donc le 1er bit sera 0.
• Sa représentation en base 2 est la suivante : 1000001101,1
• En normalisant, on trouve : 1,0000011011*2^⁹
• On ajoute 127 à l'exposant qui vaut 9 ce qui donne 136, soit en base 2 : 10001000
• La mantisse est composée de la partie décimale de 525,5 en base 2 normalisée, c'est-à-dire 0000011011.
• Comme la mantisse doit occuper 23 bits, il est nécessaire d'ajouter des zéros pour la compléter :
  00000110110000000000000
• La représentation du nombre 525,5 en binaire avec la norme IEEE est donc :
  0 1000 1000 00000110110000000000000
  0100 0100 0000 0011 0110 0000 0000 0000 (4403600 en hexadécimal)

Voici un autre exemple avec un réel négatif :
Soit à coder la valeur -0,625.

• Le bit s vaut 1 car 0,625 est négatif
• 0,625 s'écrit en base 2 de la façon suivante : 0,101
• On souhaite l'écrire sous la forme 1.01 x 2-1
• Par conséquent l'exposant vaut 1111110 car 127 - 1 = 126 (soit 1111110 en binaire)
• la mantisse est 01000000000000000000000 (seuls les chiffres après la virgule sont représentés, le nombre entier étant toujours égal à 1)
• La représentation du nombre 0,625 en binaire avec la norme IEEE est :
  1 1111 1110 01000000000000000000000
  1111 1111 0010 0000 0000 0000 0000 0000 (FF 20 00 00 en hexadécimal)